Por enquanto, apenas é possível fazer isso no Tumblr pelo PC. Se você estiver usando o Tumblr App (no celular), você não encontrará essa opção.
Tutorial:
Quando você estiver escrevendo/editando um post, crie uma nova linha em branco e um botão de “+” vai aparecer ao lado do post:
Ao clicar nesse botão, você verá as seguintes opções… Clique na última delas:
Isso fará com que um link de “Continuar lendo” seja adicionado à linha selecionada:
Detalhe: Lembrando que, tudo o que ficar depois (para baixo) do link de “Continuar lendo” vai ser a parte do post que apenas será mostrada no link permanente do post.
Depois, se você quiser remover o link de "Continuar lendo", basta passar o cursor do mouse por cima dele e um botão de remover irá aparecer ao lado direito dele:
